Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，BC=

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AD，PA=PD，Q為AD的中點．
（1）求證：AD⊥平面PBQ；
（2）已知點M為線段PC的中點，證明：PA∥平面BMQ．

Answer 1

考點：直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）只要得到AD⊥PQ，AD⊥BQ，利用線面垂直的判定定理可得；
（2）連接CA，AC∩BQ=N，只要證明MN∥PA即可．

解答： 證明：（1）△PAD中，PA=PD，Q為AD中點，∴PQ⊥AD，
底面ABCD中，AD∥BC，BC=

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AD，∴DQ∥BC，DQ=BC，
∴BCDQ為平行四邊形，
由∠ADC=90°，∴∠AQB=90°，∴AD⊥BQ，
由AD⊥PQ，AD⊥BQ，BQ∩PQ=Q，PQ、BQ?面PBQ，
∴AD⊥平面PBQ．  …（7分）
（2）連接CA，AC∩BQ=N，由AQ∥BC，AQ=BC，∴ABCQ為平行四邊形，
∴N為AC中點，
由△PAC中，M、N為PC、AC中點，∴MN∥PA
由MN?面BMQ，PA?面BMQ
∴PA∥面BMQ．…（14分）

點評：本題考查了線面垂直的判定和線面平行的判定，關鍵是將所求轉化為線線問題來解決．