Question

已知函數(shù)f(x)=(2log2x-2)(log4x-

1

2

)．
（1）當(dāng)x∈[2，4]時(shí)．求該函數(shù)的值域；
（2）若f（x）≥mlog₂x對(duì)于x∈[4，16]恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）令t=log₄x，則可將函數(shù)在x∈[2，4]時(shí)的值域問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在定區(qū)間上的值域問題，利用二次函數(shù)的圖象分析出函數(shù)的最值，即可得到函數(shù)的值域；
（2）令t=log₄x，則可將已知問題轉(zhuǎn)化為2t²-3t+1≥2mt對(duì)t∈[1，2]恒成立，即m≤t+

1

2t

-

3

2

對(duì)t∈[1，2]恒成立，求出不等號(hào)右邊式子的最小值即可得到答案．

解答：解：（1）f(x)=(2log4x-2)(log4x-

1

2

)，
令t=log4x，x∈[2，4]時(shí)，t∈[

1

2

，1]
此時(shí)，y=(2t-2)(t-

1

2

)=2t2-3t+1，
當(dāng)t=

3

4

時(shí)，y取最小值-

1

8

，
當(dāng)t=

1

2

或1時(shí)，y取最大值0，
∴y∈[-

1

8

，0]
（2）若f（x）≥mlog₂x對(duì)于x∈[4，16]恒成立，
令t=log₄x，
即2t²-3t+1≥2mt對(duì)t∈[1，2]恒成立，
∴m≤t+

1

2t

-

3

2

對(duì)t∈[1，2]恒成立
易知g(t)=t+

1

2t

-

3

2

在t∈[1，2]上單調(diào)遞增
∴g（t）_min=g（1）=0，
∴m≤0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，函數(shù)恒成立問題，函數(shù)的最值，是函數(shù)圖象和性質(zhì)的簡(jiǎn)單綜合應(yīng)用，難度中檔