Question

如圖空間四邊形ABCD中，AC=4，BD=2，E，F分別是BC和AD的中點．
（1）若EF=，求AC與BD所成角的余弦值．
（2）若AC=AB=AD，BD=BC=CD，求三棱錐A-BCD的側面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）取CD中點G，連接EG，FG，由題設知∠EGF是AC與BD所成角或所成角的補角，再由余弦定理能求出AC與BD所成角的余弦值．
（2）由AC=AB=AD=4，BD=BC=CD=2，知△ABC≌△ACD≌△ABD，故三棱錐A-BCD的側面積S=3S_△ABC，由此能求出結果．
解答：解：（1）取CD中點G，連接EG，FG，
∵AC=4，BD=2，E，F分別是BC和AD的中點，
∴EG∥BD，且EG==1，
FG∥AC，且FG==2，
∴∠EGF是AC與BD所成角或所成角的補角，
設AC與BD所成角為θ，
∵EF=，
∴由余弦定理，得cosθ=|cos∠EGF|=||=．
故AC與BD所成角的余弦值為．
（2）∵AC=AB=AD=4，BD=BC=CD=2，
∴△ABC≌△ACD≌△ABD，
∵AB=AC=4，BC=2，∴△ABC中BC邊上的高h=，
∴三棱錐A-BCD的側面積S=3S_△ABC=3×=3．
點評：本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，考查三棱錐的側面積的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意余弦定理的合理運用．