Question

規定記號“□”表示一種運算，即：a□b=a²+2ab-b²，設函數f（x）=x□2，且關于x的方程為f（x）=lg|x+2|（x≠-2）恰有四個互不相等的實數根x₁，x₂，x₃，x₄，則x₁+x₂+x₃+x₄的值是（　　）

A．-4

B．4

C．8

D．-8

Answer 1

分析：由題意可得f（x）=x²+4x-4，可得圖象關于x=-2對稱，由函數圖象的變換可得函數y=lg|x+2|的圖象關于直線x=-2對稱，進而可得四個根關于直線x=-2對稱，由此可得其和．

解答：解：由題意可得f（x）=x□2=x²+4x-4，
其圖象為開口向上的拋物線，對稱軸為x=-2，
函數y=lg|x+2|可由向左平移2個單位得到，
而函數函數y=lg|x|為偶函數，圖象關于y軸對稱，
故函數y=lg|x+2|的圖象關于直線x=-2對稱，
故方程為f（x）=lg|x+2|四個互不相等的實數根x₁，x₂，x₃，x₄，
也關于直線x=-2對稱，不妨設x₁與x₂對稱，x₃與x₄對稱，
必有x₁+x₂=-4，x₃+x₄=-4，
故x₁+x₂+x₃+x₄=-8，
故選D

點評：本題考查函數的零點，由新定義得出函數解析式并得出兩個函數圖象均關于直線x=-2對稱是解決問題的關鍵，屬中檔題．