Question

為配合國慶黃金周，促進旅游經濟的發展，某火車站在調查中發現：開始售票前，已有a人在排隊等候購票．開始售票后，排隊的人數平均每分鐘增b人．假設每個窗口的售票速度為c人/分鐘，且當開放兩個窗口時，25分鐘后恰好不會出現排隊現象（即排隊的人剛好購完）；若同時開放三個窗口時，則15分鐘后恰好不會出現排隊現象．
（1）若要求售票10分鐘后不會出現排隊現象，則至少需要同時開幾個窗口？
（2）若a=60，在只開一個窗口的情況下，試求第n（n∈N^*且n≤118）個購票者的等待時間t_n關于n的函數，并求出第幾個購票者的等待時間最長？
（注：購票者的等待時間指從開即始排隊（售票開始前到達的人，從售票開始計時）到開始購票時止）

Answer 1

解：（1）設需同時開x個窗口，
則根據題意有，
由（1）（2）得，c=2b，a=7b代入（3）得，75b+10b≤20bx，∴x≥4.25，
即至少同時開5個窗口才能滿足要求．
（2）由a=60得，b=0.8，c=1.6，設第n個人的等待時間為t_n，則由題意有，
當n≤60（n∈N^*）時，；
當60＜n≤118（n∈N^*）時，設第n個人是售票開始后第t分鐘來排隊的，
則n=60+0.8t，此時已有1.6t人購到票離開隊伍，即實際排隊的人數為n-1.6t，
∴，
綜上，t_n關于n的函數為，
∵當n≤60時，分鐘，
當60＜n≤118時，分鐘，
∴第60個購票者的等待時間最長．
分析：（1）由已知中每個窗口的售票速度為c人/分鐘，且當開放兩個窗口時，25分鐘后恰好不會出現排隊現象（即排隊的人剛好購完）；若同時開放三個窗口時，則15分鐘后恰好不會出現排隊現象，我們可以構造關于a，b，c的方程，進而由售票10分鐘后不會出現排隊現象，構造一個關于x的不等式，即可得到答案．
（2）首先確定第n個人的等待時間的函數，分析其最值，即可得到結論．
點評：本題考查的知識點函數模型的選擇與應用，在利用函數模型，解答應用題時，解答的關鍵是根據已知條件求出函數的解析式，屬于中檔題．