Question

2013年國慶黃金周旅游市場依舊火爆．一旅行社為某旅行團包機旅游，其中旅行社的包機費15000元，旅行團中每人的飛機票按以下方式與旅行社結算：若旅行團人數不超過35人，飛機票每張800元；若旅行團人數多于35人，則給予如下優惠：每多1人，每張機票減少10元，但旅行團的人數最多不超過60人，記旅行團人數為x，每個人的機票錢為y元．
（1）寫出y與x的關系式．
（2）當旅行團人數為57人時，旅行社獲得的利潤Q是否為最大利潤？請說明理由．

Answer 1

分析：（1）依題意得，當1≤x≤35時，y=800，當35＜x≤60時，y=800-10（x-35）=-10x+1150，由此能求出飛機票價格元與旅行團人數x之間的函數關系式；
（2）旅行社獲得的利潤Q=機票錢y×旅行團人數x-包機費，列出利潤Q的函數關系式，根據分段函數的解析式，分兩段分別求解每一段的最大值，最后兩段最大值進行比較，即可確定答案．

解答：解：（1）∵旅游團人數為x人，每一個人機票y元，
∴當1≤x≤35時，y=800，
當35＜x≤60時，y=800-10（x-35）=-10x+1150，
∴y=

800(0＜x≤35，x∈N) 1150-10x 35＜x≤60 x∈N

，
（2）∵利潤Q=機票錢y×旅行團人數x-包機費，
∴Q=

800x-15000，(1≤x≤35，x∈N) -10x2+1150x-15000，(35＜x≤60，x∈N)

，
①當1≤x≤35，x∈N時，Q=800x-15000為單調遞增函數，
∴當x=35時，Q取得最大值為Qmax=800×35-15000=13000；
②當35＜x≤60，x∈N時，Q=-10x²+1150x-15000，
對稱軸為x=57.5，
又∵x∈N，
∴當x=57或x=58時，Q取得最大值為Qmax=18060，
∴當人數為57或58人時利潤最大，
∴當旅行團人數為57人時旅行社獲得的利潤是最大的．

點評：本題主要考查函數模型的選擇與應用．解決實際問題通常有四個步驟：（1）閱讀理解，認真審題；（2）引進數學符號，建立數學模型；（3）利用數學的方法，得到數學結果；（4）轉譯成具體問題作出解答，其中關鍵是建立數學模型．本題建立的數學模型為分段函數，對于分段函數一般選用數形結合和分類討論的數學思想進行解題．屬于中檔題．