Question

設l，m，n是互不重合的直線，α⊥β，l?α，α，β是不重合的平面，則下列命題為真命題的是

1. A.
   若l⊥α，l∥β，則α⊥β
2. B.
   若α⊥β，l?α，則l⊥β
3. C.
   若l⊥n，m⊥n，則l∥m
4. D.
   若α⊥β，l?α，n?β，則l⊥n

Answer 1

A
分析：根據線面平行的性質定理，結合面面垂直的判定定理，可證出A是正確的；根據面面垂直的性質定理，可以舉反例得出B錯誤；根據直線與平面垂直的定義，舉反例可得C錯誤，根據直線與直線垂直的定義，舉反例可得D項錯誤．
解答：對于A，經過l作一個平面γ，設β∩γ=m
因為l∥β，所以l∥m，結合l⊥α，所以m⊥α
所以平面β經過平面α的垂線，因此α⊥β，故A正確；
對于B，若α⊥β，且α∩β=a，在α內作直線l與直線a斜交，
則l?α，但“l⊥β”不成立，故B錯誤；
對于C，若l⊥n，m⊥n，則l與m可能是相交直線
反例：若n⊥α，且l、m是α內的相交直線，
則l⊥n與m⊥n同時成立，故C錯；
對于D，若α⊥β，且α∩β=l，在β內作直線n與直線l斜交，
可得l?α，n?β，但l與n不垂直．故D錯誤．
點評：本題以命題的真假判斷為載體，考查了平面與平面垂直、直線與平面垂直，以及直線與直線平行、垂直的判定，同時還考查了空間的平行與垂直之間的聯系，屬于基礎題．