Question

設x=3是函數f(x)=

e3(x2+ax+b)

ex

，(a＞0，x∈R)的一個極值點．
（1）求a與b的關系式（用a表示b），并求f（x）的單調遞增區間；
（2）設g(x)=(a2+

25

4

)ex，若存在x₁，x₂∈[0，4]使得|f（x₁）-g（x₂）|＜1成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由已知中函數f(x)=

e3(x2+ax+b)

ex

，(a＞0，x∈R)的一個極值點是x=3．我們根據函數在某點取得極值的條件，易得f′（3）=0，進而構造方程求出a與b的關系式，分析函數在各個區間上的符號，即可得到答案．
（2）根據g(x)=(a2+

25

4

)ex，利用導數法確定函數的單調性，再根據（1）的結論，我們可以構造一個關于a的不等式，解不等式即可得到答案．

解答：解：（1）∵f(x)=

e3(x2+ax+b)

ex

，(x∈R)，
∴f′(x)=

e3(-x2+2x-ax+a-b)

ex

，
∵函數f(x)=

e3(x2+ax+b)

ex

，(a＞0，x∈R)的一個極值點是x=3．
∴f′(3)=

e3(-32+2×3-3a+a-b)

e3

=0，
∴b=-2a-3，
∵a＞0，令f′(x)=

e3(-x2+2x-ax+3a+3)

ex

＞0，
即x²-（2-a）x-（3+1）a＜0
解得：-1-a＜x＜3，
所以f（x）的單調遞增區間是：[-1-a，3]；
（2）由（1）可得，函數f（x）在[0，3]上單調遞增，在[3，4]上單調遞減，
∴f_max（x）=f（3）=a+6，且f(0)=-(2a+3)e3＜f(4)=

e3(13+2a)

e4

∴函數f（x）在x∈[0，4]的值域為[-（2a+3）e³，a+6]，
又g′(x)=(a2+

25

4

)ex＞0，
∴g（x）在[0，4]上單調遞增，
故g（x）在x∈[0，4]的值域為[a2+

25

4

，(a2+

25

4

)e4]，
若存在x₁，x₂∈[0，4]使得|f（x₁）-g（x₂）|＜1成立，
等價于|f_max（x）-g_min（x）|＜1或|g_max（x）-f_min（x）|＜1，
又∵a2+

25

4

≥a+6，
于是：

(a2+ 25 4 )-(a+6)＜1 a＞0

，
解得：0＜a＜

3

2

； 
∴實數a的取值范圍是：(0，

3

2

)．

點評：本題考查的知識點是函數在某點取得極值的條件，利用導數研究函數的單調性，其中根據已知中的函數的解析式，結合導數公式，求出函數的導函數的解析式，是解答本題的關鍵．