Question

（本小題共12分）設x=3是函數f (x) = (x²+ax+b)·e^3-x (x∈R)的一個極值點。

⑴求a與b的關系式，(用a表示b)，并求f(x)的單調區間。

⑵設a>0， ，若存在ε₁，ε₂∈[0，4]，使｜f (ε₁)-g (ε₂)｜<1成立，求a的取值范圍。

 

Answer 1

【答案】

（1） 略

（2）a的取值范圍是。 

【解析】解：⑴                        （2分）

＝

令

由于x＝3是極值點，所以3+a+1≠0，那么a≠－4。

當a<－4時，x₂>3＝x₁，則在區間（－∞，3）上，，f(x)為減函數；

在區間（3，－a－1）上f (x)為增函數。

在區間（－a－1，+∞）上f (x)為減函數。               （4分）

當a>－4時，x₂<3＝x₁，則在區間（－∞，－a－1）上f(x)為減函數；

在區間（－a－1，3）上，為增函數；

在區間（3，+∞）上， f(x)為減函數。                 （6分）

⑵由①知，當a>0時，f(x)在區間（0，3）上的單調遞增，在區間（3，4）上單調遞減，

那么f(x)在區間[0，4]上的值域是[min (f (0)，f (4))，f (3)]，

而f (0)＝－（2a+3）e³<0，f (4)＝（2a+13）e^-1>0，f（3）＝a+6，  

那么f(x)在區間[0，4]上的值域是[－（2a+3）e³，a+6]，            （8分）

又g (x)＝在區間[0，4]上是增函數，

且它在區間[0，4]上的值域是             （10分）

由于

所以只需         

故a的取值范圍是。                                 （12分）