Question

雙曲線與橢圓

x2

27

+

y2

36

=1有相同焦點，且經過點（

15

，4）．
（Ⅰ）求雙曲線的方程；            
（Ⅱ）求雙曲線的離心率及漸近線方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）雙曲線與橢圓

x2

27

+

y2

36

=1有相同焦點，雙曲線的焦點為F₁（0，-3），F₂（0，3），設雙曲線方程為

y2

a2

-

x2

9-a2

=1，由點（

15

，4）在雙曲線上，能求出雙曲線方程．
（Ⅱ）由雙曲線方程為

y2

4

-

x2

5

=1，知a=2，c=

4+5

=3，由此能求出雙曲線的離心率和漸近線方程．

解答：解：（Ⅰ）∵雙曲線與橢圓

x2

27

+

y2

36

=1有相同焦點，
∴雙曲線的焦點為F₁（0，-3），F₂（0，3），
設雙曲線方程為

y2

a2

-

x2

9-a2

=1，
點（

15

，4）在雙曲線上，代入，得：

16

a2

-

15

9-a2

=1，
解得a²=4，或a²=36（舍），
∴雙曲線方程為

y2

4

-

x2

5

=1．
（Ⅱ）∵雙曲線方程為

y2

4

-

x2

5

=1，
∴a=2，c=

4+5

=3，
∴雙曲線的離心率e=

c

a

=

3

2

．漸近線方程：y=±

2 5

5

x．

點評：本題考查雙曲線方程的求法，考查雙曲線的離心率和漸近線方程的求法．解題時要認真審題，仔細解答，注意橢圓性質的合理運用．