Question

已知圓C₁：x²＋y²－2y＝0，圓C₂：x²＋(y＋1)²＝4的圓心分別為C₁，C₂，P為一個動點，且直線PC₁，PC₂的斜率之積為－.
(1)求動點P的軌跡M的方程；
(2)是否存在過點A(2，0)的直線l與軌跡M交于不同的兩點C，D，使得|C₁C|＝|C₁D|？若存在，求直線l的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）＋y²＝1(x≠0)（2）不存在

(1)兩圓的圓心坐標分別為C₁(0，1)，和C₂(0，－1)，
設動點P的坐標為(x，y)，則直線PC₁，PC₂的斜率分別為(x≠0)和 (x≠0)．
由已知條件得＝－(x≠0)，即＋y²＝1(x≠0)．
所以動點P的軌跡M的方程為＋y²＝1(x≠0)．
(2)假設存在滿足條件的直線l，易知點A(2，0)在橢圓M的外部，當直線l的斜率不存在時，直線l與橢圓M無交點，此時不符合題意，所以直線l斜率存在，設為k，則直線l的方程為y＝k(x－2)．
聯立方程組得(2k²＋1)x²－8k²x＋8k²－2＝0，①
依題意Δ＝－8(2k²－1)>0，解得－<k<.
當－<k<時，設交點分別為C(x₁，y₁)，D(x₂，y₂)，CD的中點為N(x₀，y₀)，
則x₁＋x₂＝，則x₀＝＝，
所以y₀＝k(x₀－2)＝k＝.
要使|C₁C|＝|C₁D|，必須C₁N⊥l，即k·kC₁N＝－1，
所以k·＝－1，即k²－k＋＝0，
因為Δ₁＝1－4×＝－1<0，∴k²－k＋＝0無解，
所以不存在直線，使得|C₁C|＝|C₁D|，
綜上所述，不存在直線l，使得|C₁C|＝|C₁D|.