Question

△ABC的角A、B、C所對的邊分別記作a、b、c，已知a、b、c成等差數(shù)列，且a=4，cosC=

1

8

．
（Ⅰ）求b、c的值；       
（Ⅱ）求證：C=2A．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由a、b、c成等差數(shù)列，設(shè)公差為d，則b=4+d，c=4+2d．在△ADC中，由余弦定理可得d²+3d-4=0，d=1或d=-4．經(jīng)檢驗d=1，此時，b=5，c=6．
（Ⅱ）利用余弦定理求得cosA的值，再根據(jù)cos2A=2cos2A-1=2(

3

4

)2-1=

1

8

=cosC，且A、C是三角形的內(nèi)角，可得C=2A．

解答：（Ⅰ）解：∵a、b、c成等差數(shù)列，設(shè)公差為d，則b=4+d，c=4+2d．
在△ADC中，由余弦定理，得c²=a²+b²-2abcosC，∴(4+2d)2=42+(4+d)2-2•4(4+d)•

1

8

．
化簡，得d²+3d-4=0，d=1或d=-4．
當d=-4時，b=4+d=0，不合題意，舍去；
∴d=1，此時，b=5，c=6．
（Ⅱ）證明：∵cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

52+62-42

2•5•6

=

3

4

，
又cos2A=2cos2A-1=2(

3

4

)2-1=

1

8

=cosC，
∴cosC=cos2A，∵A、C是三角形的內(nèi)角，∴C=2A．

點評：本題主要考查等差數(shù)列的定義、通項公式的應(yīng)用、余弦定理、二倍角公式的應(yīng)用，屬于中檔題．