Question

已知函數f(x)=sinx(

3

sinx+cosx)
（1）求f（x）；
（2）的最小正周期；
（3）求f（x）；
（4）在區間[

π

2

，π]（5）上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）根據倍角的正弦和余弦公式，以及兩角差的正弦公式對解析式化簡即可；
（2）根據周期公式T=

2π

|ω|

求解；
（3）由x得范圍求出“2x-

π

3

”的范圍，再由正弦函數的性質，求出函數最大值和最小值．

解答：解：（1）由題意得，f(x)=

3

sin2x+sinxcosx
=

3 (1-cos2x)

2

+

sin2x

2

=sin(2x-

π

3

)+

3

2

，
（2）f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π；
（3）∵

π

2

≤x≤π，∴π≤2x≤2π，即

2π

3

≤2x-

π

3

≤

5π

3

，
當2x-

π

3

=

2π

3

，即x=

π

2

時，sin(2x-

π

3

)=

3

2

，
f（x）取得最大值為

3

，
當2x-

π

3

=

3π

2

，即x=

11π

12

時，sin(2x-

π

3

)=-1，
f（x）取得最小值為-1+

3

2

．

點評：本題考查了兩角差的正弦公式、倍角的正弦和余弦公式應用，以及正弦函數的性質，關鍵是熟練掌握公式并對解析式正確化簡．