Question

6．平面直角坐標系xOy中，橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的長軸長為2，拋物線E：x²=2y的準線與橢圓C相切．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若直線l與橢圓C相交于A，B兩點且與拋物線E在第一象限相切于點P，線段AB的中點為D，直線OD與過P且垂直于x軸的直線交于點M，求$\frac{{S}_{△PFG}}{|OG|}$的最小值及此時點P的坐標．

Answer 1

分析 （Ⅰ）運用橢圓的長軸和拋物線的準線，以及橢圓的a，b，c的關系，解得a，b，進而得到橢圓的方程；
（Ⅱ）設P（x₀，y₀），運用導數求得切線的斜率和方程，令x=0，可得點G的坐標，S_△PFG=$\frac{1}{2}$|FG|•|x₀|=$\frac{1}{2}$x₀•（$\frac{1}{2}$+y₀）=$\frac{1}{4}$x₀（1+x₀²）；$\frac{{S}_{△PFG}}{|OG|}$=$\frac{1}{2}\frac{1+{{x}_{0}}^{2}}{{x}_{0}}=\frac{1}{2}（\frac{1}{{x}_{0}}+{x}_{0}）$即可．

解答 解：（Ⅰ）由題意可知2a=2，b=$\frac{1}{2}$，∴橢圓C的方程為：x²+4y²=1．
（Ⅱ）設P（x₀，y₀），（x₀＞0）可得${{x}_{0}}^{2}=2{y}_{0}$，由y=$\frac{1}{2}$x²的導數為y′=x，即有切線的斜率為x₀，
則切線的方程為y-y₀=x₀（x-x₀），
直線l的方程為y=x₀x-y₀，令x=0，可得G（0，-y₀），
則S_△PFG=$\frac{1}{2}$|FG|•|x₀|=$\frac{1}{2}$x₀•（$\frac{1}{2}$+y₀）=$\frac{1}{4}$x₀（1+x₀²）；
∵|OG|=y₀$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{2}$，∴$\frac{{S}_{△PFG}}{|OG|}$=$\frac{1}{2}\frac{1+{{x}_{0}}^{2}}{{x}_{0}}=\frac{1}{2}（\frac{1}{{x}_{0}}+{x}_{0}）$≥1，
當且僅當x₀=1時，即P（1，$\frac{1}{2}$）時，$\frac{{S}_{△PFG}}{|OG|}$有最小值1．

點評 本題考查橢圓的方程的求法，考查拋物線的切線，及三角形的面積的計算，以及化簡整理的運算能力，屬于中檔題題．