Question

【題目】平面直角坐標系xOy中，橢圓C： 的離心率是 ，
拋物線E：x2=4y的焦點F是C的一個頂點．

（1）求橢圓C的方程；
（2）設與坐標軸不重合的動直線l與C交于不同的兩點A和B，與x軸交于點M，且 滿足kPA+kPB=2kPM ， 試判斷點M是否為定點？若是定點求出點M的坐標；若不是定點請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由拋物線E：x2=4y，得F（0，1），即b=1，

又 ，a2=b2+c2=1+c2，

解得：a=2，c= ．

∴橢圓方程為 ；

（2）設直線l：x=my+t，A（x1，y1），B（x2，y2），則M（t，0），

由 得（m2+4）y2+2mty+t2﹣4=0，

△=16m2﹣16t2+64＞0

，

= ，x1x2=（my1+t）（my2+t）=

y1x2+y2x1=2my1y2+t（y1+y2）=

由kPA+kPB=2kPM，得

= ．

2t2+（4m﹣17）t﹣32m+8=02t2﹣17t+8+m（4t﹣32）=0

當t=8時，2t2﹣17t+8+m（4t﹣32）=0恒成立，

故M為定點（8，0）．

【解析】（1）利用已知條件可得含有a，c的方程組，解方程組可得a，c，進而可得b，從而可得橢圓C的方程；（2）設直線l，A，B的坐標，聯立直線l方程和橢圓C的方程，消去x，可得y1+y2，y1y2，進而可得x1+x2，x1x2，由kPA+kPB=2kPM可得關于m的方程，進而可得t，從而可得點M的坐標．