Question

設g（x）是定義在R上，以1為周期的函數，若函數f（x）=x+g（x）在區間[3，4]上的值域為[-2，5]，則f（x）在區間[-10，10]上的值域為    ．

Answer 1

【答案】分析：根據已知中（x）是定義在R上，以1為周期的函數，由函數f（x）=x+g（x）在區間[3，4]上的值域為[-2，5]，結合函數的周期性，我們可以分別求出f（x）在區間[-10，-9]，[-9，-8]，…，[9，10]上的值域，進而求出f（x）在區間[-10，10]上的值域．
法二：可根據g（x）是定義在R上，以1為周期的函數，研究函數f（x）=x+g（x）的性質，得f（x+1）-f（x）=1，由此關系求出函數在f（x）在區間[-10，10]上的值域即可．
解答：解：法一：∵g（x）為R上周期為1的函數，則g（x）=g（x+1）
又∵函數f（x）=x+g（x）在[3，4]的值域是[-2，5]
令x+6=t，當x∈[3，4]時，t=x+6∈[9，10]
此時，f（t）=t+g（t）=（x+6）+g（x+6）=（x+6）+g（x）=[x+g（x）]+6
所以，在t∈[9，10]時，f（t）∈[4，11]…（1）
同理，令x-13=t，在當x∈[3，4]時，t=x-13∈[-10，-9]
此時，f（t）=t+g（t）=（x-13）+g（x-13）=（x-13）+g（x）=[x+g（x）]-13
所以，當t∈[-10，-9]時，f（t）∈[-15，-8]…（2）
…
由（1）（2）…得到，f（x）在[-10，10]上的值域為[-15，11]
故答案為：[-15，11]
法二：由題意f（x）-x=g（x） 在R上成立
 故 f（x+1）-（x+1）=g（x+1）
所以f（x+1）-f（x）=1
由此知自變量增大1，函數值也增大1
故f（x）在[-10，10]上的值域為[-15，11]
故答案為：[-15，11]
點評：本題考查的知識點是函數的周期性及函數的值域，其中根據函數的周期性利用換元法將區間[-10，-9]…上的值域轉化為區間[3，4]上的值域問題，是解答本題的關鍵．