Question

設g（x）是定義在R上以1為周期的函數，若函數f（x）=x+g（x）在區間[3，4]上的值域為[-2，5]，則f（x）在區間[2，5]上的值域為

[-3，6]

．

Answer 1

分析：本題根據g（x）是定義在R上以1為周期的函數，得到g（x）=g（x+1），然后根據變量代換，逐步使變量取到給定的區間[2，5]，最后求出不同區間段內的值域取并集．

解答：解：因為g（x）是定義在R上以1為周期的函數，則g（x）=g（x+1），又f（x）=x+g（x）在區間[3，4]上的值域為[-2，5]
令x+1=t，∵x∈[3，4]，∴t=x+1∈[4，5]，則f（t）=t+g（t）=（x+1）+g（x+1）=（x+1）+g（x）=[x+g（x）]+1，所以t∈[4，5]，f（t）∈[-1，6]①．
再令x-1=t，∵x∈[3，4]，∴t=x-1∈[2，3]，則f（t）=t+g（t）=（x-1）+g（x-1）=（x-1）+g（x）=[x+g（x）]-1，所以t∈[2，3]，f（t）∈[-3，4]②．
綜合已知條件及①②，知f（x）=x+g（x）在區間[2，5]上的值域為[-3，6]．

點評：本題重點考查了函數的周期性，主要是函數g（x）的周期1的循環利用．