Question

【題目】當n∈N*時， ，Tn= + + +…+ ． （Ⅰ）求S1 ， S2 ， T1 ， T2；
（Ⅱ）猜想Sn與Tn的關系，并用數學歸納法證明．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵當n∈N*時， ，Tn= + + +…+ ． ∴S1=1﹣ = ，S2=1﹣ + ﹣ = ，T1= = ，T2= + =
（Ⅱ）猜想：Sn=Tn（n∈N*），即：
1﹣ + ﹣ +…+ ﹣ = + + +…+
（n∈N*）
下面用數學歸納法證明：
①當n=1時，已證S1=T1
②假設n=k時，Sk=Tk（k≥1，k∈N*），
即：1﹣ + ﹣ +…+ ﹣ = +…+
則：Sk+1=Sk+ ﹣ =Tk+ ﹣
= +…+ + ﹣
= +…+ + +（ ﹣ ）
= + +…+ + =Tk+1 ，
由①，②可知，對任意n∈N* ， Sn=Tn都成立．
【解析】（Ⅰ）由已知直接利用n=1，2，求出S1 ， S2 ， T1 ， T2的值；（Ⅱ）利用（1）的結果，直接猜想Sn=Tn ， 然后利用數學歸納法證明，①驗證n=1時猜想成立；②假設n=k時，Sk=Tk ， 通過假設證明n=k+1時猜想也成立即可．
【考點精析】通過靈活運用數列的前n項和和數學歸納法的定義，掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系；數學歸納法是證明關于正整數n的命題的一種方法即可以解答此題．