為了保護環境，某工廠在國家的號召下，把廢棄物回收轉化為某種產品，經測算，處理成本
（萬元）與處理量
（噸）之間的函數關系可近似的表示為：
，且每處理一噸廢棄物可得價值為
萬元的某種產品，同時獲得國家補貼萬元．
（1）當
時，判斷該項舉措能否獲利？如果能獲利，求出最大利潤；
如果不能獲利，請求出國家最少補貼多少萬元，該工廠才不會虧損？
（2）當處理量為多少噸時，每噸的平均處理成本最少？
(1)國家最少需要補貼
萬元，該工廠才能不會虧損；（2）30.
解析試題分析：（1）本題考查函數應用，屬于容易題，解題的關鍵是列出收益函數，收益等于收入減成本，因此有利潤
，化簡后它是關于的二次函數，利用二次函數的知識求出
的取值范圍，如果有非負的取值，就能說明可能獲利，如果沒有非負取值，說明不能獲利，而國家最小補貼就是中最大值的絕對值.（2）每噸平均成本等于
，由題意
，我們根據基本不等式的知識就可以求出它的最小值以及取最小值時的值.
試題解析：（1）根據題意得，利潤和處理量之間的關系：
2分
，
.
∵
，
在
上為增函數，
可求得
. 5分
∴國家只需要補貼萬元，該工廠就不會虧損． 7分
（2）設平均處理成本為
9分
， 11分
當且僅當
時等號成立，由
得
．
因此，當處理量為
噸時，每噸的處理成本最少為萬元． 14分
考點：函數應用題，二次函數的值域，基本不等式的應用.
寒假天地重慶出版社系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
定義在[﹣1，1]上的奇函數f（x）滿足f（1）=2，且當a，b∈[﹣1，1]，a+b≠0時，有
．
（1）試問函數f（x）的圖象上是否存在兩個不同的點A，B，使直線AB恰好與y軸垂直，若存在，求出A，B兩點的坐標；若不存在，請說明理由并加以證明．
（2）若
對所有x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]恒成立，求實數m的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
某商品每件成本9元，售價為30元，每星期賣出144件. 如果降低價格，銷售量可以增加，且每星期多賣出的商品件數與商品單價的降低值
（單位：元，
）的平方成正比.
已知商品單價降低2元時，一星期多賣出8件．
（1）將一個星期的商品銷售利潤表示成的函數；
（2）如何定價才能使一個星期的商品銷售利潤最大？
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
某公司為一家制冷設備廠設計生產某種型號的長方形薄板，其周長為4m．這種薄板須沿其對角線折疊后使用．如圖所示，ABCD(AB＞AD)為長方形薄板，沿AC折疊后AB′交DC于點P.當△ADP的面積最大時最節能，凹多邊形ACB′PD的面積最大時制冷效果最好．
(1)設AB＝xm，用x表示圖中DP的長度，并寫出x的取值范圍；
(2)若要求最節能，應怎樣設計薄板的長和寬？
(3)若要求制冷效果最好，應怎樣設計薄板的長和寬？
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數
和函數
，其中
為參數，且滿足
.
（1）若
，寫出函數
的單調區間（無需證明）；
（2）若方程
在
上有唯一解，求實數的取值范圍；
（3）若對任意
，存在
，使得
成立，求實數的取值范圍.
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，若
對于所有的
恒成立，求實數
的取值范圍.
滿足條件：①
；②函數
的圖像與直線
相切．
在
時恒成立，求實數
的取值范圍．
命題
且命題
是
的必要條件，求實數m的取值范圍
．
在
上存在零點，求實數
的取值范圍；
時，若對任意的
，總存在
使
成立，求實數
的取值范圍．