Question

在直角坐標系xoy上取兩個定點A₁(－2，0)，A₂(2，0)，再取兩個動點N₁(0，m)，N₂(0，n)，且mn＝3．

(Ⅰ)求直線A₁N₁與A₂N₂交點的軌跡M的方程；

(Ⅱ)已知點A(1，t)(t＞0)是軌跡M上的定點，E，F是軌跡M上的兩個動點，如果直線AE的斜率k_AE與直線AF的斜率k_AF滿足k_AE＋k_AF＝0，試探究直線EF的斜率是否是定值？若是定值，求出這個定值，若不是，說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)依題意知直線的方程為：①　2分 　　直線的方程為：②　3分 　　設是直線與交點，①×②得 　　由 　　整理得　4分 　　∵不與原點重合　∴點不在軌跡M上　5分 　　∴軌跡M的方程為()　6分 　　(Ⅱ)∵點()在軌跡M上 　　∴解得， 　　即點A的坐標為　7分 　　設，則直線AE方程為：，代入并整理得 　　　9分 　　設，，∵點在軌跡M上， 　　∴③，④　11分 　　又 　　得，將③、④式中的代換成，可得 　　，　12分 　　∴直線EF的斜率　13分 　　∵ 　　∴ 　　即直線EF的斜率為定值，其值為　15分