Question

在直角坐標系xoy上取兩個定點A₁（-2，0），A₂（2，0），再取兩個動點N₁（0，m），N₂（0，n），且mn=3．
（1）求直線A₁N₁與A₂N₂交點的軌跡M的方程；
（2）已知點A（1，t）（t＞0）是軌跡M上的定點，E，F是軌跡M上的兩個動點，如果直線AE的斜率k_AE與直線AF的斜率k_AF滿足k_AE+k_AF=0，試探究直線EF的斜率是否是定值？若是定值，求出這個定值，若不是，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）先分別求直線A₁N₁與A₂N₂的方程，進而可得，利用mn=3，可以得，又點A₁（-2，0），A₂（2，0）不在軌跡M上，故可求軌跡方程；
（2）先求點A的坐標，將直線AE的方程代入并整理，利用k_AE+k_AF=0得k_AF=-k，從而可表示直線EF的斜率，進而可判斷直線EF的斜率為定值．
解答：解：（1）依題意知直線A₁N₁的方程為：①---（1分）
直線A₂N₂的方程為：②----------（2分）
設Q（x，y）是直線A₁N₁與A₂N₂交點，①×②得
由mn=3整理得-----------------（5分）
∵N₁，N₂不與原點重合∴點A₁（-2，0），A₂（2，0）不在軌跡M上-----------------（6分）
∴軌跡M的方程為（x≠±2）-----------------------------------（7分）
（2）∵點A（1，t）（t＞0）在軌跡M上∴解得，即點A的坐標為--（8分）
設k_AE=k，則直線AE方程為：，代入并整理得----------------------------------（10分）
設E（x_E，y_E），F（x_F，y_F），∵點在軌跡M上，
∴------③，④--------------（11分）
又k_AE+k_AF=0得k_AF=-k，將③、④式中的k代換成-k，
可得，------------（12分）
∴直線EF的斜率∵
∴
即直線EF的斜率為定值，其值為---（14分）
點評：本題主要考查交軌法求軌跡方程，應注意純粹性，（2）的關鍵是求出直線EF的斜率的表示，通過化簡確定其偉定值，考查了學生的計算能力，有一定的綜合性．