Question

已知兩個向量

a

=（1+log₂|x|，log₂|x|），

b

=（log₂|x|，t）（x≠0）．
（1）若t=1且

a

⊥

b

，求實數x的值；
（2）對t∈R寫出函數f（x）=

a

•

b

具備的性質．

Answer 1

分析：（1）欲求實數x的值，先根據

a

⊥

b

和t=1，有（1+log₂|x|，log₂|x|）•（log₂|x|，1）=0，再根據向量積的點坐標計算公式計算即可得出x的值．
（2）要寫出函數的性質，主要看奇偶性、單調性、最值這三個方面．

解答：解：（1）由已知得log₂²|x|+2log₂|x|=0（2分）
log₂|x|=0或log₂|x|=-2（4分）
解得x=±1或x=±

1

4

（6分）
（2）f（x）=log₂²|x|+（1+t）log₂|x|=0（8分）
具備的性質：
①偶函數；
②當log2|x|= -

1+t

2

即x=±2

1+t

2

時，
f（x）取得最小值-

(1+t)2

4

（寫出值域為[ -

(1+t)2

4

，+m)也可）；
③單調性：在(0，2-

1+t

2

]上遞減，[2-

1+t

2

，+m)上遞增；
由對稱性，在[-2-

1+t

2

，0)上遞增，在(-m，-2-

1+t

2

]遞減

點評：本題考查平面向量綜合知識，同時考查對數函數的相關知識．