Question

已知函數f(x)=a-

1

|x|

．
（1）求證：y=f（x）在（0，+∞）上是增函數；
（2）若函數y=f（x）在[m，n]上的值域是[m，n]（m≠n），求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）（0，+∞）時，f′(x)=

1

x2

＞0，y=f（x）在（0，+∞）上是增函數．由此能夠證明y=f（x）在（0，+∞）上是增函數．
（2）函數的定義域：x＞0或x＜0．當x＞0時，f（x）=a-

1

x

單調遞增；當x＜0時，f（x）=a+

1

x

單調遞減．當x＞0時，f（m）=m且f（n）=n且m＜n，即m=a-

1

m

，且n=a-

1

n

，且m＜n，這個式子等價于方程二元一次方程x²-ax+1=0有兩個正的不等實根，由此能求出a的取值范圍．

解答：（1）證明：∵（0，+∞）時，f(x)=a-

1

|x|

=a-

1

x

，
∴f′(x)=

1

x2

＞0，
∴y=f（x）在（0，+∞）上是增函數．
（2）解：函數的定義域：x＞0或x＜0．
當x＞0時，f（x）=a-

1

x

單調遞增；當x＜0時，f（x）=a+

1

x

單調遞減．
當x＞0時，f（m）=m且f（n）=n且m＜n，即m=a-

1

m

，且n=a-

1

n

，且m＜n，
這個式子等價于方程
x=a-

1

x

有兩個不等實根，即二元一次方程x²-ax+1=0有兩個正的不等實根，
當x＜0時，f（m）=n且f（n）=m，即a+

1

m

=n，且a+

1

n

=m，且m＜n＜0，
a=n-

1

m

=m-

1

n

．
根據以上情況，有：
①對稱軸

a

2

，判別式△=a²-4＞0，且x=0時等式左邊=1＞0．解得a＞2．
②a²=nm+

1

mn

-2，
a-a=（n-m）-（

1

m

-

1

n

）=（n-m）-

n-m

mn

=（n-m）（1-

1

mn

）=0，
因為n-m≠0，所以1-

1

mn

=0，即mn=1，所以a²=1+1-2=0
綜上所述，a的取值范圍是{a|a＞2或a=0}．

點評：本題考查函數的單調性的證明，考查實數的取值范圍的求法．解題時要認真審題，仔細解答，注意導數性質的靈活運用，合理地進行等價轉化．