Question

（1）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)B與點(diǎn)A（-1，1）關(guān)于原點(diǎn)O對稱，P是動(dòng)點(diǎn)，且直線AP與BP的斜率之積等于-

1

3

．求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程．
（2）

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的離心率為2，原點(diǎn)到直線AB的距離為

3

2

，其中A（0，-b）、B（a，0）求該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

分析：（1）求出B的坐標(biāo)，利用直線AP與BP的斜率之積等于-

1

3

，即可得到動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）利用離心率為2，原點(diǎn)到直線AB的距離為

3

2

，建立方程，即可求得軌跡方程．

解答：解：（1）∵點(diǎn)B與點(diǎn)A（-1，1）關(guān)于原點(diǎn)O對稱，∴B（1，-1），
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），則
∵直線AP與BP的斜率之積等于-

1

3

，
∴

y-1

x+1

•

y+1

x-1

=-

1

3

化簡可得x²+3y²=4（x≠±1）；
（2）∵e=2，∴1+

b2

a2

=4，∴b²=3a²①
∵AB的方程為bx-ay-ab=0
∴由點(diǎn)到直線的距離公式可得

ab

a2+b2

=

3

2

②
聯(lián)立①②，解得a²=1，b²=3
∴雙曲線方程為x2-

y2

3

=1．

點(diǎn)評：本題考查軌跡方程，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．