Question

函數f（x）=

1

2a

x²-（1+

1

a2

）x+

1

a

lnx，a∈R．
（1）當a=-1時，求f（x）的單調區間；
（2）當a＞0時，討論f（x）的單調性；
（3）g（x）=b²x²-3x+

1

2

ln2，當a=2，1＜x＜3時，g（x）＞f（x）恒有解，求b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求出f′（x）把a=-1代入到f′（x），令f′（x）＞0時，得到函數的遞增區間；令f′（x）＜0時，得到函數的遞減區間；
（2）在求單調區間時要注意函數的定義域以及對參數a的討論情況；
（3）g（x）＞f（x）恒有解，分類參數可得即b²＞3[-

1

2

•

1

x2

+

1

x

]有解，利用換元法和導數研究函數k（t）=-

1

2

t2+t，t∈[

1

3

，1]的最值，即可求得結論．

解答：解：f′（x）=

1

a

x-1-

1

a2

+

1

ax

=

1

ax

[x²-（a+

1

a

）x+1]=

1

ax

（x-a）（x-

1

a

）
由題設知x＞0
a-

1

a

=

(a+1)(a-1)

a

（1）a=-1時，f′（x）＜0，則f（x）的單減區間是（0，+∞）
（2）①0＜a＜1時，a-

1

a

＜0，即0＜a＜

1

a

，則f（x）在（0，a）和（

1

a

，+∞）上單增，在（a，

1

a

）上單減    
②a=1時，a=

1

a

=1，f′（x）≥0，則f（x）在（0，+∞）上單增
③a＞1時，a-

1

a

＞0即0＜

1

a

＜a，則f（x）在（0，

1

a

）和（a，+∞）上單增，在（

1

a

，a）上單減    
（3）由（2）知，a=2，1＜x＜3時，
當x=2時f（x）得到最小值為f（2）=-

3

2

+

1

2

ln2
∴1＜x≤3時，g（x）＞f（x）恒有解，需b²x²-3x+

1

2

ln2＞-

3

2

+

1

2

ln2在1＜x＜3時有解
即b²＞3[-

1

2

•

1

x2

+

1

x

]有解，
令t=

1

x

∈[

1

3

，1]，k（t）=-

1

2

t2+t，t∈[

1

3

，1]，
k′（t）=1-t＞0，∴k（t）  在t∈[

1

3

，1]上單增
∴

5

6

=k(

1

3

)≤k(t)＜k(1)=

3

2

  
∴需b²＞

5

6

，即b＜-

30

6

或b＞

30

6

∴b的范圍是（-∞，-

30

6

）∪（

30

6

，+∞）．

點評：考查學生利用導數研究函數單調性的能力，理解函數恒成立取到的條件，考查應用知識分析解決問題的能力和運算能力，分離參數轉化為求函數的最值是解題的關鍵，體現了轉化的數學思想方法，屬難題．