Question

【題目】如圖，直三棱柱中，底面為等腰直角三角形，，，是側(cè)棱上的點(diǎn)．

（1）若，證明：是的中點(diǎn)；

（2）若，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）利用勾股定理得出，再由可得知為等邊三角形，利用勾股定理得出，進(jìn)而可證得結(jié)論成立；

（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用空間向量法可求得二面角的余弦值．

（1）由直三棱柱得平面，

、平面，，，

為等腰直角三角形，，且，

由勾股定理得，

，是等邊三角形，則，

由勾股定理得，為的中點(diǎn)；

（2）易知、、兩兩垂直，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)，則、、，，，

設(shè)平面的法向量為，由，得，

令，得，，，

又平面的法向量為，，

由圖形可知，二面角為銳角，所以，二面角的余弦值為.