Question

已知函數f（x）=

3

2

ax²，g （x）=-6x+ln x³（a≠0）．
（Ⅰ）若函數h （x）=f （x）-g （x） 有兩個極值點，求實數a的取值范圍；
（Ⅱ）是否存在實數a＞0，使得方程g （x）=x f′（x）-3（2a+1）x  無實數解？若存在，求出a的取值范圍？若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（I）寫出新構造的函數，由已知知道函數有兩個極值點，對函數求導，題目轉化成方程有兩個不同的實根，根據實根分布寫出判別式和根與系數的關系式，解出a的值．
（II）方程無實數解轉化為關于函數H（x）在區間（0，+∞）內的零點問題，對函數求導，得到函數的單調區間，得到要使H（x）圖象與x軸有無交點，只需函數的最小值大于0，解出a的值．

解答：解（Ⅰ）∵h（x）=f（x）-g（x）=

3

2

ax²+6x-3lnx（x＞0），
∴h′（x）=3ax+6-

3

x

．（2分）
∵函數h（x）有兩個極值點，
∴方程h′（x）=3ax+6-

3

x

=

3(ax2+2x-1)

x

=0，
即ax²+2x-1=0應有兩個不同的正數根，于是

△=22+4a＞0 x1+x2=- 2 a ＞ x1x2=- 1 a ＞0

0
?-1＜a＜0．（6分）
（Ⅱ）方程g（x）=xf′（x）-3（2a+1）x即為-6x+3lnx=3ax²-3（2a+1）x，
等價于方程ax²+（1-2a）x-lnx=0．
設H（x）=ax²+（1-2a）x-lnx，轉化為關于函數H（x）在區間（0，+∞）內的零點問題（8分）
∵H′（x）=2ax+（1-2a）-

1

x

=

2ax2+(1-2a)x-1

x

=

(2ax+1)(x-1)

x

，
且a＞0，x＞0，則當x∈（0，1）時，H′（x）＜0，H（x）是減函數；
當x∈（1，+∞）時，H′（x）＞0，H（x）是增函數．（10分）
因為x→0（或者x→+∞）時，H（x）→+∞，
∴要使H（x）圖象與x軸有無交點，只需
H（x）_min=H（1）=a+（1-2a）=1-a＞0，結合a＞0得0＜a＜1，為所求．（12分）
答：（I）要求的a的取值范圍是（-1，0）
（II）使得方程無實數解的a的取值是（0，1）

點評：解決本題時要注意題目中所應用的函數的思想，要使的函數與橫軸無有交點，只要使得函數的最小值大于0即可，這種思想經常用到．