Question

17．已知函數f（x）=x•lnx，g（x）=2mx-1（m∈R）．
（Ⅰ）求函數f（x）在x=1處的切線方程；
（Ⅱ）若關于x的方程f（x）=g（x）在$[{\frac{1}{e}，e}]$上有兩個不同的解，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數的導函數，得到f′（1），再求出f（1），利用直線方程的點斜式得答案；
（Ⅱ）把關于x的方程f（x）=g（x）在$[{\frac{1}{e}，e}]$上有兩個不同的解，轉化為函數$h（x）=lnx+\frac{1}{x}$與y=2m的圖象在$[{\frac{1}{e}，e}]$有兩個不同交點，利用導數求出函數$h（x）=lnx+\frac{1}{x}$在$[{\frac{1}{e}，e}]$上的值域，數形結合得答案．

解答 解：（Ⅰ）$f′（x）=1•lnx+x•\frac{1}{x}=lnx+1$，
∴f′（1）=1，又f（1）=0，
∴函數f（x）在x=1處的切線方程是：y-0=1×（x-1），
即y=x-1；
（Ⅱ）由f（x）=g（x），得x•lnx=2mx-1，
即 $lnx+\frac{1}{x}=2m$，
問題轉化為：函數$h（x）=lnx+\frac{1}{x}$與y=2m的圖象在$[{\frac{1}{e}，e}]$有兩個不同交點．
令$h′（x）=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}＞0$，得x＞1，
∴函數h（x）在$（{\frac{1}{e}，1}）$上單調遞減，（1，e）上單調遞增，
又$h（\frac{1}{e}）=e-1，h（1）=1，h（e）=1+\frac{1}{e}$．
結合函數h（x）的圖象可知，$1＜2m≤1+\frac{1}{e}$，
∴$\frac{1}{2}＜m≤\frac{1}{2}+\frac{1}{2e}$．
∴實數m的取值范圍是$（\frac{1}{2}，\frac{1}{2}+\frac{1}{2e}]$．

點評 本題考查利用導數研究函數的單調性，考查了利用導數求函數的最值，是中檔題．