Question

7．將函數(shù)f（x）=sin2x的圖象向右平移φ（0＜φ＜$\frac{π}{2}$）個(gè)單位后得g（x）的圖象，若對(duì)滿足f（x₁）•g（x₂）=-1的任意x₁，x₂，都有|x₁-x₂|_min=$\frac{π}{4}$，則φ的值為（　　）

• A． $\frac{π}{6}$
• B． $\frac{π}{4}$
• C． $\frac{5π}{12}$
• D． $\frac{π}{3}$

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)平移關(guān)系求出函數(shù)g（x）的解析式，根據(jù)條件對(duì)滿足f（x₁）•g（x₂）=-1的任意x₁，x₂，都有|x₁-x₂|_min=$\frac{π}{4}$，建立方程關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：將函數(shù)f（x）=sin2x的圖象向右平移φ（0＜φ＜$\frac{π}{2}$）個(gè)單位后得g（x）的圖象，
則g（x）=sin2（x-φ）=sin（2x-2φ），
則由f（x₁）•g（x₂）=-1得sin2x₁•sin（2x₂-2φ）=-1，
則sin2x₁=1，且sin（2x₂-2φ）=-1，或sin2x₁=-1，且sin（2x₂-2φ）=1，
根據(jù)對(duì)稱性不妨取sin2x₁=1，且sin（2x₂-2φ）=-1，
則2x₁=$\frac{π}{2}$+2k₁π，2x₂-2φ=-$\frac{π}{2}$+2k₂π，
得x₁=$\frac{π}{4}$+k₁π，x₂=φ-$\frac{π}{4}$+k₂π，
則x₁-x₂=$\frac{π}{4}$+k₁π，-φ+$\frac{π}{4}$-k₂π=$\frac{π}{2}$-φ+（k₁-k₂）π，
∵|x₁-x₂|_min=$\frac{π}{4}$，
∴|$\frac{π}{2}$-φ+（k₁-k₂）π|_min=$\frac{π}{4}$，
∵0＜φ＜$\frac{π}{2}$，∴當(dāng)（k₁-k₂）π=0時(shí)，$\frac{π}{2}$-φ=$\frac{π}{4}$，得φ=$\frac{π}{4}$，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，結(jié)合三角函數(shù)的圖象平移關(guān)系求出函數(shù)的解析式是解決本題的關(guān)鍵．