Question

設函數
（1）若時，函數有三個互不相同的零點，求的取值范圍；
（2）若函數在內沒有極值點，求的取值范圍；
（3）若對任意的，不等式在上恒成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

（1）；（2）；（3）.

試題分析：（1）時，，有三個互不相同的零點，即有三個互不相同的實數根，構造函數確定函數的單調性，求函數的極值，從而確定的取值范圍；
（2）要使函數在內沒有極值點，只需在上沒有實根即可，即的兩根或不在區間上；
（3）求導函數來確定極值點，利用的取值范圍，求出在上的最大值，再求滿足時的取值范圍．
（1）當時，.
因為有三個互不相同的零點，所以，即有三個互不相同的實數根.
令，則.
令，解得；令，解得或.
所以在和上為減函數，在上為增函數.
所以，.
所以的取值范圍是.
（2）因為，所以.
因為在內沒有極值點，所以方程在區間上沒有實數根，
由，二次函數對稱軸，
當時，即，解得或，
所以，或（不合題意，舍去），解得.
所以的取值范圍是；
（3）因為，所以或，且時，，.
又因為，所以在上小于0，是減函數；
在上大于0，是增函數；
所以，而，
所以，
又因為在上恒成立，所以，即，即，在上恒成立.
因為在上是減函數，最小值為-87.
所以，即的取值范圍是.