Question

（2012•西城區二模）已知函數f(x)=

2ax+a2-1

x2+1

，其中a∈R．
（Ⅰ）當a=1時，求曲線y=f（x）在原點處的切線方程；
（Ⅱ）求f（x）的單調區間．

Answer 1

分析：（Ⅰ）當a=1時，求導函數，確定切點坐標與切線的斜率，即可得到曲線y=f（x）在原點處的切線方程；
（Ⅱ）求導函數可得，分類討論，利用導數的正負，可得函數的單調區間．

解答：解：（Ⅰ）當a=1時，f(x)=

2x

x2+1

，f′(x)=-

2(x+1)(x-1)

(x2+1)2

．    …（2分）
∴f'（0）=2，
∵f（0）=0，
∴曲線y=f（x）在原點處的切線方程是2x-y=0．…（4分）
（Ⅱ）求導函數可得，f′(x)=-

2(x+a)(ax-1)

(x2+1)2

．                             …（6分）
當a=0時，f′(x)=

2x

(x2+1)2

，所以f（x）在（0，+∞）單調遞增，在（-∞，0）單調遞減．          …（7分）
當a≠0，f′(x)=-2a

(x+a)(x- 1 a )

(x2+1)2

．
①當a＞0時，令f'（x）=0，得x₁=-a，x2=

1

a

，f（x）與f'（x）的情況如下：

x	（-∞，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，+∞）
f'（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↘	f（x1）	↗	f（x2）	↘

故f（x）的單調減區間是（-∞，-a），(

1

a

，+∞)；單調增區間是(-a，

1

a

)．…（10分）
②當a＜0時，f（x）與f'（x）的情況如下：

x	（-∞，x2）	x2	（x2，x1）	x1	（x1，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	f（x2）	↘	f（x1）	↗

所以f（x）的單調增區間是(-∞，

1

a

)；單調減區間是(-

1

a

，-a)，（-a，+∞）．…（13分）
綜上，a＞0時，f（x）在（-∞，-a），(

1

a

，+∞)單調遞減；在(-a，

1

a

)單調遞增．a=0時，f（x）在（0，+∞）單調遞增，在（-∞，0）單調遞減；a＜0時，f（x）在(-∞，

1

a

)，（-a，+∞）單調遞增；在(

1

a

，-a)單調遞減．

點評：本題考查導數知識的運用，考查導數的幾何意義，考查函數的單調性，考查分類討論的數學思想，屬于中檔題．