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 (本大題14分)

已知函數定義域為,且滿足.

(Ⅰ)求解析式及最小值;

(Ⅱ)求證:。        

(Ⅲ)設。求證:.

 

【答案】

(1)

  (2)見解析;(3)

【解析】本試題主要是考查了導數在研究函數中的運用。

(1)求解導數,然后判定單調性,然后分析最值。

(2)求解導數可知

(3)構造函數,利用導數分析最值,進而證明不等式。

解:(1)

  (2)求導可知:

(3)

   故,令

   求導易知最大值為,而,且

   故

 

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已知橢圓的一個頂點為,離心率

(Ⅰ)求橢圓的方程;

(Ⅱ)設直線l與橢圓交于A,B兩點,坐標原點O到直線l的距離為

     求△AOB面積的最大值.

 

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已知函數的圖像在[a,b]上連續不斷,定義:

,其中表示函數在D上的最小值,表示函數在D上的最大值,若存在最小正整數k,使得對任意的成立,則稱函數上的“k階收縮函數”

(1)若,試寫出的表達式;

(2)已知函數試判斷是否為[-1,4]上的“k階收縮函數”,

如果是,求出對應的k,如果不是,請說明理由;

已知,函數是[0,b]上的2階收縮函數,求b的取值范圍

 

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(I)求的關系式;

(II)求的單調區間;

(III)當時,函數的圖象上任意一點的切線斜率恒大于3,求的取值范圍.

 

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