Question

某廠生產某種零件，每個零件的成本為40元，出廠單價定為60元．該廠為鼓勵銷售商訂購，決定當一次訂購量超過100個時，每多訂購一個，訂購的全部零件的出廠單價就降低0.02元，但實際出廠單價不低于51元．
（1）當一次訂購量為多少個時，零件的實際出廠單價恰降為51元？
（2）設一次訂購量為x個，零件的實際出廠單價為p元，寫出函數p=f（x）的表達式；
（3）當銷售商一次訂購多少個時，該廠獲得的利潤為6000元？（工廠售出一個零件的利潤=實際出廠單價-成本）

Answer 1

分析：（1）根據當一次訂購量超過100個時，每多訂購一個，訂購的全部零件的出廠單價就降低0.02元，可求得一次訂購量為550個時，每個零件的實際出廠價格恰好降為51元；
（2）函數為分段函數，當0≤x≤100時，p為出廠單價；當100＜x＜550時，p=60-0.02(x-100)=62-

x

50

；當x≥550時，p=51，故可得結論；
（3）根據工廠售出一個零件的利潤=實際出廠單價-成本，求出利潤函數，利用利潤為6000元，可求得結論．

解答：解：（1）設每個零件的實際出廠價格恰好降為51元時，一次訂購量為x₀個，
則x0=100+

60-51

0.02

=550（個）
因此，當一次訂購量為550個時，每個零件的實際出廠價格恰好降為51元．…（2分）
（2 ）當0≤x≤100時，p=60；…（3分）
當100＜x＜550時，p=60-0.02(x-100)=62-

x

50

；…（4分）
當x≥550時，p=51．…（5分）
所以p=

60(0＜x≤100) 62- x 50 (100＜x＜550) 51(x≥550)

(x∈N*)…（6分）
（3）設銷售商的一次訂購量為x個時，工廠獲得的利潤為L元，則L=(p-40)x=

20x(0＜x≤100) 22x- x2 50 (100＜x＜550)(x∈N*) 11x(x≥550)

…（9分）
當0＜x≤100時，L≤2000；…（10分）
當x≥500時，L≥6050；…（11分）
當100＜x＜550時，L=22x-

x2

50

．
由

22x- x2 50 =6000 100＜x＜550

，解得x=500．
答：當銷售商一次訂購500個時，該廠獲得的利潤為6000元．…（13分）

點評：本題考查函數模型的構建，考查利用數學知識解決實際問題，解題的關鍵是確定分段函數模型．