Question

已知：a≠0，f（x）=x³+ax²-a²x-1，g（x）=ax²-x-1
（1）若a＜0時，求y=f（x）的單調區間；
（2）若y=f（x）與y=g（x）在區間(a，a+

1

2

)上是增函數，求a的范圍；
（3） 若y=f（x）與y=g（x）的圖象有三個不同的交點，記y=g（x）在區間[0，

1

4

]上的最小值為h（a），求h（a）．

Answer 1

分析：（1）先求出導函數fˊ（x），在函數的定義域內解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，即可求出函數的單調區間；
（2）討論a的正負，根據函數y=f（x）與y=g（x）的單調增區間是區間(a，a+

1

2

)的子集建立方程組，解之即可；
（3）欲使y=f（x）與y=g（x）的圖象有三個不同的交點，則x³+ax²-a²x-1=ax²-x-1有三個解，可求出a的范圍，根據a的范圍求出y=g（x）在區間[0，

1

4

]上的最小值為h（a）即可．

解答：解：（1）f'（x）=3x²+2ax-a²=0
解得：x=

a

3

或-a
當x∈（-∞，

a

3

）或（-a，+∞）時，f'（x）＞0，
則f（x）的增區間為（-∞，

a

3

），（-a，+∞）
當x∈(

a

3

，-a)時，f'（x）＜0，
∴減區間為(

a

3

，-a)（4分）
（2）當a＜0時，則有

a+ 1 2 ≤ a 3 或-a≤a a+ 1 2 ≤ 1 2a

得a∈（-∞，-1]（7分）
當a＞0時，則有

a+ 1 2 ≤-a或 a 3 ≤a a≥ 1 2a

得a∈[

2

2

，+∞)（10分）
所以a∈(-∞，-1]∪[

2

2

，+∞)
（3）由x³+ax²-a²x-1=ax²-x-1得x（x²-a²+1）=0有三個解，
所以a＞1或a＜-1  （12分）
得h(a)=

- 1 4a -1(a≥2) a 16 - 5 4 (a＜-1或1＜a＜2)

（16分）

點評：本題主要考查導函數的正負與原函數的單調性之間的關系，即當導函數大于0時原函數單調遞增，當導函數小于0時原函數單調遞減，以及圖象交點的問題，常常轉化成方程根的個數，屬于中檔題．