Question

（2010•廣東模擬）已知數列{a_n}的首項為a₁=3，點（a_n，a_n+1）在直線3x-y=0（n∈N^*）上．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若f（x）=a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ，求f'（1）的值，并化簡．
（Ⅲ）若c_n=log₃a_n³-2（n∈N^*），證明對任意的n∈N^*，不等式(1+

1

c1

)(1+

1

c2

)•…•(1+

1

cn

)＞

3	3n+1

恒成立．

Answer 1

分析：（Ⅰ）將（a_n，a_n+1）代入直線3x-y=0，得出

an+1

an

=3易求數列{a_n}的通項公式
（Ⅱ）利用導數運算及函數值求解，求得f′（1）=3+2•3²+3•3³+…+n•3ⁿ，利用錯位相消求和法化簡計算．
（Ⅲ）所給的不等式是與自然數有關的命題，可以考慮用數學歸納法證明．

解答：解：（Ⅰ）由已知有3a_n-a_n+1=0，∴

an+1

an

=3，
所以數列{a_n]為以3為公比，以a₁=3為首項的等比數列，
∴a_n=a₁3^n-1=3ⁿ．
（Ⅱ）f（x）=a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ則
f′（x）=a₁+2a₂x+3a₃x²+…+na_nx^n-1
∴f′（1）=a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=3+2•3²+3•3³+…+n•3ⁿ   ①
∴3f′（1）=3²+2•3³+3•3⁴+…+（n-1）•3ⁿ+n•3ⁿ⁺¹    ②
①-②得-2f′（1）=3+3²+3³+3⁴+…+3ⁿ-n•3ⁿ⁺¹=

3(3n-1)

3-1

-n•3ⁿ⁺¹
∴f′（1 ）=-

3(3n-1)

4

+

n

2

•3n+1=

(2n-1)3n+1

4

+

3

4

（Ⅲ）證明：由已知c_n=3n-2，則 1+

1

cn

=1+

1

3n-2

，所以
(1+

1

c1

)( 1+

1

c2

)••(1+

1

cn

)=(1+1)(1+

1

4

)…(1+

1

3n-2

)
下面用數學歸納法證明不等式(1+

1

c1

)(1+

1

c2

)•…•(1+

1

cn

)＞

3	3n+1

成立．
①當n=1時，左邊=2，右邊=

3	4

，不等式成立．
②假設當n=k時不等式成立，即(1+

1

c1

)( 1+

1

c2

)••(1+

1

ck

)=(1+1)(1+

1

4

)…(1+

1

3k-2

)＞

3	3k+1

成立．
則當n=k+1時，左邊(1+

1

c1

)( 1+

1

c2

)••(1+

1

ck

)[1+

1

3(k+1)-2

]
=(1+1)(1+

1

4

)…(1+

1

3k-2

)[1+

1

3(k+1)-2

]
＞

3	3k+1

•[1+

1

3(k+1)-2

]=

3	3k+1

•

3k+2

3k+1

=

3	(3k+2)3 (3k+1)2

只要證

3	(3k+2)3 (3k+1)2

＞＞

3	3(k+1)+1

成立即可
只需證   

(3k+2)3

(3k+1)2

＞3k+4成立，
只需證（3k+2）³＞（3k+4）（3k+1）²成立，
只需證27k³+54k²+36k+8＞27k³+54k²+27k+4成立，
只需證9k+4＞0成立，由于k為正整數，顯然成立．
所以當n=k+1時，不等式也成立．
由①，②可得不等式(1+

1

c1

)(1+

1

c2

)•…•(1+

1

cn

)＞

3	3n+1

恒成立

點評：本題考查等比數列的定義、通項公式，函數與導數的知識，以及錯位相消法數列求和、用數學歸納法、分析法證明不等式的數學方法．考查計算、論證能力．