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【題目】甲、乙兩支球隊進行總決賽,比賽采用七場四勝制,即若有一隊先勝四場,則此隊為總冠軍,比賽就此結束.因兩隊實力相當,每場比賽兩隊獲勝的可能性均為.據以往資料統計,第一場比賽可獲得門票收入40萬元,以后每場比賽門票收入比上一場增加10萬元.

(I)求總決賽中獲得門票總收入恰好為300萬元的概率;

(II)設總決賽中獲得門票總收入為X,求X的均值E(X).

【答案】(1) ;(2)377.5萬元.

【解析】試題分析:

(1)由題意結合等差數列的性質可得總決賽共比賽了5場,結合二項分布公式可得總決賽中獲得門票總收入恰好為300萬元的概率是

(2)由題意可知隨機變量X可取的值為220300390490.結合隨機變量的值求得概率值,然后求解均值可得E(X)=377.5萬元.

試題解析:

(1)依題意,每場比賽獲得的門票收入組成首項為40,公差為10的等差數列.

設此數列為{an},則易知a140an10n30

所以Sn300.

解得n5n=-12(舍去),所以總決賽共比賽了5

則前4場比賽的比分必為13,且第5場比賽為領先的球隊獲勝,其概率為.

所以總決賽中獲得門票總收入恰好為300萬元的概率為.

(2)隨機變量X可取的值為S4S5S6S7,即220300390490.

,

,

,

,

所以X的分布列為

X

220

300

390

490

P

所以X的均值為E(X)220×300×390×490×377.5(萬元).

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