Question

【題目】已知拋物線 和點(diǎn)D(2,0)，直線 與拋物線C交于不同兩點(diǎn)A、B，直線BD與拋物線C交于另一點(diǎn)E.給出以下判斷：

①直線OB與直線OE的斜率乘積為-2； ②軸； ③以BE為直徑的圓與拋物線準(zhǔn)線相切；

其中，所有正確判斷的序號(hào)是（ ）

A.①②③B.①②C.①③D.②③

Answer 1

【答案】B

【解析】

由題意，可設(shè)直線的方程為，利用韋達(dá)定理判斷第一個(gè)結(jié)論；將代入拋物線的方程可得，，從而，，進(jìn)而判斷第二個(gè)結(jié)論；設(shè)為拋物線的焦點(diǎn)，以線段為直徑的圓為，則圓心為線段的中點(diǎn)．設(shè)，到準(zhǔn)線的距離分別為，，的半徑為，點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，顯然，，三點(diǎn)不共線，進(jìn)而判斷第三個(gè)結(jié)論.

解：由題意，可設(shè)直線的方程為，

代入拋物線的方程，有．

設(shè)點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為，，

則，．

所．

則直線與直線的斜率乘積為．所以①正確．

將代入拋物線的方程可得，，從而，，

根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可知，，兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，

所以直線軸．所以②正確．

如圖，設(shè)為拋物線的焦點(diǎn)，以線段為直徑的圓為，

則圓心為線段的中點(diǎn)．設(shè)，到準(zhǔn)線的距離分別為，，的半徑為，點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，顯然，，三點(diǎn)不共線，

則．所以③不正確．

故選：B.