Question

如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別為ABCD-A₁B₁C₁D₁、ABCD-A₁B₁C₁D₁的中點．
（1）求證：AC⊥BD₁；
（2）AE∥平面BFD₁．

Answer 1

考點：直線與平面平行的判定,空間中直線與直線之間的位置關系

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）連接BD，交AC于0，通過證明AC⊥BD，DD₁⊥AC利用線面垂直的判定定理證明出AC⊥平面BDD₁，進而根據線面垂直的性質證明出AC⊥BD₁．
（2）連接EF，構造出四邊形ABEF并證明其為平行四邊形，進而推斷出AE∥BF，利用線面平行的判斷定理證明出AE∥平面BFD₁．

解答： （1）證明：連接BD，交AC于0，
∵DD₁⊥平面ABCD，AC⊆平面ABCD，
∴DD₁⊥AC，
∵ABCD為正方形，
∴AC⊥BD，
∵BD?平面BDD₁，DD₁?平面BDD₁，BD∩DD₁=D，
∴AC⊥平面BDD₁，
∵BD₁?平面BDD₁，
∴AC⊥BD₁．
（2）連接EF，
∵E，F為中點，
∴EF∥CD，且EF=CD，
∵AB∥CD，且AB=CD，
∴四邊形ABEF為平行四邊形，
∴AE∥BF，
∵BF?平面BFD₁，AE?平面BFD₁，
∴AE∥平面BFD₁．

點評：本題主要考查線面垂直和線面平行的判定定理的運用．注重了對學生基礎知識的考查．