Question

在△ABC中角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，且sinAcosC+

1

2

sinC=sinB．
（Ⅰ）求角A的大小；
 （Ⅱ）若a=2，求△ABC周長的最大值及相應的b，c值．

Answer 1

分析：（I）利用三角形中的正弦定理及余弦定理將已知等式中的三角函數的關系轉化為三邊間的關系，再利用余弦定理求出角A
另一方法：利用三角形的內角和為π，將已知等式中的角B用角A，C表示，再利用兩角和的正弦公式展開，求出角C
（II）將a=2代入（I）得到的三邊間的關系，利用基本不等式將bc用b+c表示，解關于b+c的不等式求出b+c的范圍．

解答：解：（Ⅰ）∵sinAcosC+

1

2

sinC=sinB
由正弦定理及余弦定理得a×

a2+b2-c2

2ab

+

1

2

c=b
∴a²=b²+c²-bc
由余弦定理得cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

1

2

∵A∈（0，π），
∴A=

π

3

另解：∵sinAcosC+

1

2

sinC=sinB
∴sinAcosC+

1

2

sinC=sinAcosC+cosAsinC
∵A∈（0，π），
∴sinC≠0，
從而cosA=

1

2

∵A∈（0，π），
∴A=

π

3

（Ⅱ） 由已知及（Ⅰ）知得  
4=a²=b²+c²-bc=（b+c）²-3bc
4≥(b+c)2-

3

4

(b+c)2=

1

4

(b+c)2
∴b+c≤4，當且僅當b=c=2時取“=”．
∴當b=c=2時，△ABC周長的最大值為6

點評：解決三角形問題，一般利用三角形的正弦定理、余弦定理實現三角形中的邊、角間的相互轉化；利用基本不等式求函數的最值時，一定注意需要滿足的條件：一正、二定、三相等．