Question

已知焦點在x軸上橢圓的長軸的端點分別為A，B，O為橢圓的中心，F為右焦點，且，離心率e=．
（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）記橢圓的上頂點為M，直線l交橢圓于P，Q兩點，問：是否存在直線l，使點F恰好為△PQM的垂心？若存在，求出直線l的方程，若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）設橢圓的標準方程為，則A（-a，0），B（a，0），F（c，0）
∵
∴（c+a，0）•（c-a，0）=-1
∴c²-a²=-1
∵離心率e=，∴
∴a²=2，c²=1
∴b²=a²-c²=1
∴橢圓的標準方程為；
（Ⅱ）假設存在直線l交橢圓與點P，Q兩點，且F恰好為△PQM的垂，
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），因為M（0，1），F（1.0），所以k_PQ=1．
于是設直線l為y=x+m，由得3x²+4mx+2m²-2=0
∴x₁+x₂=-，x₁x₂=
∵
∴x₁（x₂-1）+y₂（y₁-1）=0
∴2x₁x₂+（x₁+x₂）（m-1）+m²-m=0=0
∴2×-（m-1）+m²-m=0=0
∴m=-或m=1（舍去）
故直線l的方程為y=x-．
分析：（Ⅰ）設橢圓的標準方程，利用，離心率e=，可求幾何量，從而可得橢圓的標準方程；
（Ⅱ）假設存在直線l交橢圓與點P，Q兩點，且F恰好為△PQM的垂心，設直線l為y=x+m，與橢圓方程聯立，利用韋達定理，及，即可求得直線l的方程．
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查向量知識的運用，考查韋達定理，考查學生的計算能力，屬于中檔題．