Question

已知焦點在x軸上橢圓的長軸的端點分別為A，B，O為橢圓的中心，F為右焦點，且

AF

•

BF

=-1，離心率e=

2

2

．
（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）記橢圓的上頂點為M，直線l交橢圓于P，Q兩點，問：是否存在直線l，使點F恰好為△PQM的垂心？若存在，求出直線l的方程，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設橢圓的標準方程，利用

AF

•

BF

=-1，離心率e=

2

2

，可求幾何量，從而可得橢圓的標準方程；
（Ⅱ）假設存在直線l交橢圓與點P，Q兩點，且F恰好為△PQM的垂心，設直線l為y=x+m，與橢圓方程聯立，利用韋達定理，及

MP

•

FQ

=0，即可求得直線l的方程．

解答：解：（Ⅰ）設橢圓的標準方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，則A（-a，0），B（a，0），F（c，0）
∵

AF

•

BF

=-1
∴（c+a，0）•（c-a，0）=-1
∴c²-a²=-1
∵離心率e=

2

2

，∴

c

a

=

2

2

∴a²=2，c²=1
∴b²=a²-c²=1
∴橢圓的標準方程為

x2

2

+y2=1；
（Ⅱ）假設存在直線l交橢圓與點P，Q兩點，且F恰好為△PQM的垂，
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），因為M（0，1），F（1.0），所以k_PQ=1．
于是設直線l為y=x+m，由

y=x+m x2 2 +y2=1

得3x²+4mx+2m²-2=0
∴x₁+x₂=-

4m

3

，x₁x₂=

2m2-2

3

∵

MP

•

FQ

=0
∴x₁（x₂-1）+y₂（y₁-1）=0
∴2x₁x₂+（x₁+x₂）（m-1）+m²-m=0=0
∴2×

2m2-2

3

-

4m

3

（m-1）+m²-m=0=0
∴m=-

4

3

或m=1（舍去）
故直線l的方程為y=x-

4

3

．

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查向量知識的運用，考查韋達定理，考查學生的計算能力，屬于中檔題．