Question

（03年北京卷文）（15分）

如圖，正三棱柱ABC―A₁B₁C₁中，D是BC的中點，AB=a.

   （Ⅰ）求證：直線A₁D⊥B₁C₁；

   （Ⅱ）求點D到平面ACC₁的距離；

   （Ⅲ）判斷A₁B與平面ADC的位置關系，

 并證明你的結論.

Answer 1

解析：（Ⅰ）證法一：∵點D是正△ABC中BC邊的中點，∴AD⊥BC，

又A₁A⊥底面ABC，∴A₁D⊥BC ，∵BC∥B₁C₁，∴A₁D⊥B₁C₁.

 證法二：連結A₁C₁，則A₁C=A₁B.  ∵點D是正△A₁CB的底邊中BC的中點，

        ∴A₁D⊥BC ，∵BC∥B₁C₁，∴A₁D⊥B₁C₁.

（Ⅱ）解法一：作DE⊥AC于E， ∵平面ACC₁⊥平面ABC，

∴DE⊥平面ACC₁于E，即DE的長為點D到平面ACC₁的

距離.  在Rt△ADC中，AC=2CD=

∴所求的距離

解法二：設點D到平面ACC₁的距離為，

∵體積 

即點D到平面ACC₁的距離為.

   （Ⅲ）答：直線A₁B//平面ADC₁，證明如下：

證法一：如圖1，連結A₁C交AC₁于F，則F為A₁C的中點，∵D是BC的中點，∴DF∥A₁B，

      又DF 平面ADC₁，A₁B平面ADC₁，∴A₁B∥平面ADC₁.

證法二：如圖2,取C₁B₁的中點D₁，則AD∥A₁D₁，C₁D∥D₁B，

∴AD∥平面A₁D₁B，且C₁D∥平面A₁D₁B，

∴平面ADC₁∥平面A₁D₁B，∵A₁B平面A₁D₁B，∴A₁B∥平面ADC₁.