Question

已知點P（4，4），橢圓E：

x2

18

+

y2

2

=1，橢圓上點A（3，1），F₁、F₂分別是橢圓的左、右焦點，Q為橢圓E上一動點，求

AP

•

AQ

取值范圍．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：三角函數的求值,平面向量及應用,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：設Q點坐標可設為（3

2

cosθ，

2

sinθ），則

AP

=（1，3），

AQ

=（3

2

cosθ-3，

2

sinθ-1），利用輔助角公式可得

AP

•

AQ

=3

2

cosθ-3+3

2

sinθ-3=6sin（θ+

π

4

）-6，結合正弦型函數的圖象和性質可得

AP

•

AQ

取值范圍．

解答： 解：橢圓E：

x2

18

+

y2

2

=1的參數方程為：

x=3 2 cosθ y= 2 sinθ

，θ為參數，
故Q點坐標可設為（3

2

cosθ，

2

sinθ），
又∵點P（4，4），點A（3，1），
∴

AP

=（1，3），

AQ

=（3

2

cosθ-3，

2

sinθ-1），
∴

AP

•

AQ

=3

2

cosθ-3+3

2

sinθ-3=6sin（θ+

π

4

）-6∈[-12，0]，
即

AP

•

AQ

取值范圍為[-12，0]．

點評：本題考查的知識點是橢圓的簡單性質，向量的數量積，三角函數的圖象和性質，難度中檔．