Question

某化工廠打算投入一條新的生產線，但需要經環保部門審批同意方可投入生產，已知該廠連續生產n個月的累計產量為f(n)=

1

2

n(n+1)(2n-1)噸，但如果產量超過96噸，將會給環境造成危害．
（1）請你代表環保部門給廠擬定最長的生產周期；
（2）若該廠在環保部門的規定下生產，但需要每月交納a萬元的環保稅，已知每噸產品售價0.6萬元，第n個月的工人工資為g(n)=

8

5

n2-

2

5

n-1萬元，若每月都贏利，求出a的范圍．

Answer 1

分析：（1）先化簡得到第n個月的產量函數，再令f(n)-f(n-1)≤96，解得：-

16

3

≤n≤6；
（2）建立利潤函數F(n)=

3

5

(3n2-2n)-a-g(n)，n∈N，n≤6，則F（n）＞0恒成立，求得a的范圍．

解答：解：（1）第n個月的月產量=

f(1)，n=1 f(n)-f(n-1)，n∈N，n≥2

．（3分）
∵f(n)=

1

2

n(n+1)(2n-1)，∴f(1)=1，當n≥2時，f(n-1)=

1

2

(n-1)n(2n-3)，
∴f（n）-f（n-1）=3n²-2n．（6分）
令f(n)-f(n-1)≤96，即3n2-2n-96≤0，解得：-

16

3

≤n≤6，
∵n∈N，∴n_max=6．（9分）
（2）若每月都贏利，
則

3

5

(3n2-2n)-a-g(n)＞0，n∈N，n≤6恒成立．
即a＜

1

5

(n-2)2+

1

5

，n=1，2，3，4，5，6，恒成立，（12分）
令h(n)=

1

5

(n-2)2+

1

5

，n=1，2，3，4，5，6，∴n=2時h(n)最小，且h(2)=

1

5

（14分）
所以0＜a＜

1

5

．（16分）

點評：本題主要考查函數的實際應用，建模和解模的能力．