Question

某化工廠打算投入一條新的生產(chǎn)線生產(chǎn)某種化工產(chǎn)品，但需要經(jīng)過(guò)環(huán)保部門審批同意后方可投入生產(chǎn)．已知該生產(chǎn)線連續(xù)生產(chǎn)n個(gè)月的累積產(chǎn)量為f(n)=

1

2

n(n+1)(2n-1)噸，但如果月產(chǎn)量超過(guò)96噸，就會(huì)給周邊環(huán)境造成污染，環(huán)保部門將責(zé)令停產(chǎn)一段時(shí)間，再進(jìn)入下一個(gè)生產(chǎn)周期．
（Ⅰ）請(qǐng)你代表環(huán)保部門給該生產(chǎn)線擬定一個(gè)最長(zhǎng)的生產(chǎn)周期；
（Ⅱ）按環(huán)保管理?xiàng)l例，該生產(chǎn)線每月需要繳納a萬(wàn)元的環(huán)保費(fèi)．已知這種化工產(chǎn)品每噸的售價(jià)為0.6萬(wàn)元，第n個(gè)月的生產(chǎn)成本為g(n)=

8

5

n2-

2

5

n-1萬(wàn)元．當(dāng)環(huán)保費(fèi)用a在什么范圍內(nèi)時(shí)，該生產(chǎn)線在最長(zhǎng)的生產(chǎn)周期內(nèi)每月都有盈利？

Answer 1

分析：（1）先化簡(jiǎn)得到第n個(gè)月的產(chǎn)量函數(shù)，再令 f(n)-f(n-1)≤96，解得：-

16

3

≤n≤6
（2）建立利潤(rùn)函數(shù)F(n)=

3

5

(3n2-2n)-a-g(n)，n∈N，n≤6，則F（n）＞0恒成立，求得a的范圍．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)第n個(gè)月的產(chǎn)量為a_n噸，則a₁=f（1）=1．（1分）
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=f（n）-f（n-1）=3n²-2n．（3分）
又a₁=1滿足上式，所以a_n=3n²-2n（n∈N*）．（4分）
令3n²-2n-96≤0，得-

16

3

≤n≤6．又n∈N^*，則n=1，2，3，4，5，6．
故最長(zhǎng)生產(chǎn)周期是6個(gè)月．（6分）
（Ⅱ）由

3

5

(3n2-2n)-(

8

5

n2-

2

5

n-1)-a＞0，得a＜

1

5

n2-

4

5

n+1．（8分）
設(shè)φ(n)=

1

5

n2-

4

5

n+1，據(jù)題意，當(dāng)n=1，2，3，4，5，6時(shí)，a＜φ（n）恒成立，則a＜φ（n）_min．
因?yàn)?span id="p9vv5xb5" class="MathJye">φ(n)=

1

5

n2-

4

5

n+1=

1

5

(n-2)2+

1

5

，則當(dāng)n=2時(shí)，φ(n)min=

1

5

．（12分）
故當(dāng)環(huán)保費(fèi)用a∈(0，

1

5

)時(shí)，該生產(chǎn)線在最長(zhǎng)的生產(chǎn)周期內(nèi)每月都有盈利．（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，建模和解模的能力．