Question

某項選拔共有三輪考核，每輪設有一個問題，能正確回答問題者進入下一輪考核，否則即被淘汰，已知某選手能正確回答第一、二、三輪的問題的概率分別為

4

5

、

3

5

、

2

5

，且各輪問題能否正確回答互不影響．
（Ⅰ）求該選手被淘汰的概率；
（Ⅱ）該選手在選拔中回答問題的個數記為ξ，求隨機變量ξ的分布列與數學期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求該選手被淘汰的概率可先求其對立事件該選手不被淘汰，即三輪都答對的概率；
（Ⅱ）ξ的可能值為1，2，3，ξ=i表示前i-1輪均答對問題，而第i次答錯，利用獨立事件求概率即可．

解答：解：（Ⅰ）記“該選手能正確回答第i輪的問題”的事件為A_i（i=1，2，3），
則P(A1)=

4

5

，P(A2)=

3

5

，P(A3)=

2

5

．
∴該選手被淘汰的概率P=P(

.

A1

+A1

.

A2

+A1A2

.

A3

)
=P(

.

A1

)+P(A1)P(

.

A2

)+P(A1)P(A2)P(

.

A3

)
=

1

5

+

4

5

×

2

5

+

4

5

×

3

5

×

3

5

=

101

125

．
（Ⅱ）ξ的可能值為1，2，3.P(ξ=1)=P(

.

A1

)=

1

5

，
P(ξ=2)=P(A1

.

A2

)=P(A1)P(

.

A2

)=

4

5

×

2

5

=

8

25

，
P（ξ=3）=P（A₁A₂）=P（A₁）P（A₂）=

4

5

×

3

5

=

12

25

．
∴ξ的分布列為

∴Eξ=1×

1

5

+2×

8

25

+3×

12

25

=

57

25

．

點評：本題考查互斥、對立、獨立事件的概率，離散型隨機變量的分布列和期望等知識，同時考查利用概率知識分析問題、解決問題的能力．