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在平面直角坐標系xOy中,橢圓上一點到橢圓E的兩個焦點距離之和為,橢圓E的離心率為
(1)求橢圓E的方程;
(2)若b為橢圓E的半短軸長,記C(0,b),直線l經過點C且斜率為2,與直線l平行的直線AB過點(1,0)且交橢圓于A、B兩點,求△ABC的面積S的值.
【答案】分析:(1)由題設條件,先求出a,b,c的值,然后再求橢圓E的方程.
(2)由題設知點C(0,1),直線L的方程為:y=2x+1,直線AB的方程為:y=2x-2.設A(x1,y1),B(x2,y2),將y=2x-2代入橢圓E的方程,整理可得:13x2-24x+9=0,再由根與系數的關系和點到直線的距離公式能夠求出△ABC的面積S的值.
解答:解:(1)由題意,得(2分)
(4分)
∴橢圓E的方程為(5分)
(2)由(1)可知點C(0,1),易知直線L的方程為:y=2x+1(6分)
直線AB的方程為:y=2x-2(7分)
設A(x1,y1),B(x2,y2),將y=2x-2代入橢圓E的方程
整理可得:13x2-24x+9=0,(8分)
,可得(10分)
(11分)
設點C(0,1)到直線AB的距離為d,由點到直線的距離公式可得:(13分)
∴△ABC的面積.(14分)
點評:本題考查圓錐曲線的性質和應用,解題時要認真審題,注意挖掘條件,合理地運用韋達定理和點到直線的距離公式進行解題.
練習冊系列答案
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科目:高中數學 來源: 題型:

在平面直角坐標系xoy中,已知圓心在直線y=x+4上,半徑為2
2
的圓C經過坐標原點O,橢圓
x2
a2
+
y2
9
=1(a>0)
與圓C的一個交點到橢圓兩焦點的距離之和為10.
(1)求圓C的方程;
(2)若F為橢圓的右焦點,點P在圓C上,且滿足PF=4,求點P的坐標.

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科目:高中數學 來源: 題型:

如圖,在平面直角坐標系xOy中,銳角α和鈍角β的終邊分別與單位圓交于A,B兩點.若點A的橫坐標是
3
5
,點B的縱坐標是
12
13
,則sin(α+β)的值是
16
65
16
65

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科目:高中數學 來源: 題型:

在平面直角坐標系xOy中,若焦點在x軸的橢圓
x2
m
+
y2
3
=1
的離心率為
1
2
,則m的值為
4
4

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科目:高中數學 來源: 題型:

(2013•泰州三模)選修4-4:坐標系與參數方程
在平面直角坐標系xOy中,已知A(0,1),B(0,-1),C(t,0),D(
3t
,0)
,其中t≠0.設直線AC與BD的交點為P,求動點P的軌跡的參數方程(以t為參數)及普通方程.

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科目:高中數學 來源: 題型:

(2013•東莞一模)在平面直角坐標系xOy中,已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左焦點為F1(-1,0),且橢圓C的離心率e=
1
2

(1)求橢圓C的方程;
(2)設橢圓C的上下頂點分別為A1,A2,Q是橢圓C上異于A1,A2的任一點,直線QA1,QA2分別交x軸于點S,T,證明:|OS|•|OT|為定值,并求出該定值;
(3)在橢圓C上,是否存在點M(m,n),使得直線l:mx+ny=2與圓O:x2+y2=
16
7
相交于不同的兩點A、B,且△OAB的面積最大?若存在,求出點M的坐標及對應的△OAB的面積;若不存在,請說明理由.

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