Question

在平面直角坐標系xOy中，橢圓上一點到橢圓E的兩個焦點距離之和為，橢圓E的離心率為．
（1）求橢圓E的方程；
（2）若b為橢圓E的半短軸長，記C（0，b），直線l經過點C且斜率為2，與直線l平行的直線AB過點（1，0）且交橢圓于A、B兩點，求△ABC的面積S的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題設條件，先求出a，b，c的值，然后再求橢圓E的方程．
（2）由題設知點C（0，1），直線L的方程為：y=2x+1，直線AB的方程為：y=2x-2．設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），將y=2x-2代入橢圓E的方程，整理可得：13x²-24x+9=0，再由根與系數的關系和點到直線的距離公式能夠求出△ABC的面積S的值．
解答：解：（1）由題意，得（2分）
∴（4分）
∴橢圓E的方程為（5分）
（2）由（1）可知點C（0，1），易知直線L的方程為：y=2x+1（6分）
直線AB的方程為：y=2x-2（7分）
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），將y=2x-2代入橢圓E的方程
整理可得：13x²-24x+9=0，（8分）
則，可得（10分）
故（11分）
設點C（0，1）到直線AB的距離為d，由點到直線的距離公式可得：（13分）
∴△ABC的面積．（14分）
點評：本題考查圓錐曲線的性質和應用，解題時要認真審題，注意挖掘條件，合理地運用韋達定理和點到直線的距離公式進行解題．