Question

求數列1，3a，5a²，7a³，…，(2n－1)a^n－1的前n項和．

Answer 1

答案：
解析：

　　解：當a＝0時，原數列為1，0，0，0，…，所以其前n項和S_n＝1；

　　當a＝1時，原數列為1，3，5，7，…，(2n－1)，是公差為2的等差數列，所以其前n項和S_n＝n＝n²；

　　當a≠0且a≠1時，原數列是一等差數列和一等比數列對應項相乘得到的數列，

　　記S_n＝1＋3a＋5a²＋7a³＋…＋(2n－1)a^n－1，①

　　aS_n＝a＋3a²＋5a³＋…＋(2n－3)a^n－1＋(2n－1)aⁿ，②

　　①－②，得S_n－aS_n＝1＋2a＋2a²＋2a³＋…＋2a^n－1－(2n－1)aⁿ，

　　∴S_n(1－a)＝1－(2n－1)aⁿ＋2(a＋a²＋a³＋…＋a^n－1)

　　＝1－(2n－1)aⁿ＋2·

　　＝1－(2n－1)aⁿ＋

　　又a≠1，∴S_n＝．

@@思路分析：由于題中的字母a沒有給任何條件，而它取值不同，數列就會變化，所以應對a的取值進行討論．特別地當a≠0且a≠1時，原數列是一等差數列和一等比數列對應項相乘得到的數列，求其和的方法是錯位相減法．

@@方法歸納：如果一個數列是由一等差數列和一等比數列對應項相乘得到的，則求該數列的前n項和時，應該用錯位相減法．注意兩邊同乘公比后，一定要錯位相減，目的是把很多項合并，進而轉化為能求和．