Question

設(shè)S為集合{1，2，3，…，50}的子集，它具有下列性質(zhì)：S中任何兩個(gè)不同元素之和不被7整除，那么S中的元素最多可能有多少個(gè)？

Answer 1

解：集合{1，2，3，…，50}中所有的數(shù)都除以7取余數(shù)，可分為7組，即余數(shù)分別為0，1，2，3，4，5，6；
其中余數(shù)為0時(shí)，有{7，14，21，28，35，42，49}共7個(gè)；
余數(shù)為1時(shí)，有{1，8，15，…，50}共8個(gè)；
余數(shù)為2時(shí)，有{2，9，16，…，44}共7個(gè)；
余數(shù)為3時(shí)，有{3，10，17，…，45}共7個(gè)；
余數(shù)為4時(shí)，有{4，11，18，…，46}共7個(gè)；
余數(shù)為5時(shí)，有{5，12，19，…，47}共7個(gè)；
余數(shù)為6時(shí)，有{6，13，20，…，48}共7個(gè)；
根據(jù)題意知，余數(shù)為1和余數(shù)為6，余數(shù)為2和余數(shù)為5，余數(shù)為3和余數(shù)為4不能同時(shí)在S中，余數(shù)為0時(shí)只能有一個(gè)元素在S中；
所以，S最大時(shí)，元素應(yīng)是余數(shù)為1時(shí)+余數(shù)為2時(shí)+余數(shù)為3（或余數(shù)為4）時(shí)+余數(shù)為0時(shí)的一個(gè)元素，共23個(gè)元素．
分析：確定集合{1，2，3，…，50}中所有的數(shù)都除以7取余數(shù)的分類，利用S中任何兩個(gè)不同元素之和不被7整除，可得余數(shù)為1和余數(shù)為6，余數(shù)為2和余數(shù)為5，余數(shù)為3和余數(shù)為4不能同時(shí)在S中，余數(shù)為0時(shí)只能有一個(gè)元素在S中，從而可得結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題以集合與元素為數(shù)學(xué)模型，考查了子集的概念，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于基礎(chǔ)題．