Question

14、設S為集合{1，2，3，…，100}的具有下列性質的子集：S中任意兩個不同元素之和不被7整除，那么S中元素最多可能有

45

個？

Answer 1

分析：集合{1，2，3，…，100}中所有的數都除以7取余數，分為7組，即余數分別為0，1，2，3，4，5，6；
其中余數為0時，有14個，余數為1時，有15個，余數為2時，有15個，余數為3時，有14個，余數為4時，有14個，余數為5時，有14個，余數為6時，有14個；顯然，余數為1和余數為6，余數為2和余數為5，余數為3和余數為4不能同時在S中，余數為0時只能有一個元素在S中；所以，S最大時應是余數為1時+余數為2時+余數為3（或余數為4）時+余數為0時的一個元素的個數和．

解答：解：集合{1，2，3，…，100}中所有的數都除以7取余數，可分為7組，即余數分別為0，1，2，3，4，5，6；
其中余數為0時，有{7，14，21，28，35，42，49，56，63，70，77，84，91，98}共14個；
余數為1時，有{1，8，15，…，99}共15個；
余數為2時，有{2，9，16，…，100}共15個；
余數為3時，有{3，10，17，…，94}共14個；
余數為4時，有{4，11，18，…，95}共14個；
余數為5時，有{5，12，19，…，96}共14個；
余數為6時，有{6，13，20，…，97}共14個；
根據題意知，余數為1和余數為6，余數為2和余數為5，余數為3和余數為4不能同時在S中，余數為0時只能有一個元素在S中；
所以，S最大時應是余數為1時+余數為2時+余數為3（或余數為4）時+余數為0時的一個元素，共45個元素．
故答案為：45．

點評：本題以集合與元素為數學模型，考查了數列規律性的探求問題，解題時應仔細分析，尋找問題的關鍵，得出結論．